miércoles, 26 de noviembre de 2008

Paradojas

LAS PARADOJAS Y LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS
Casi todo el mundo sabe que las Matemáticas no siempre han sido como las conocemos hoy día (lo poco o muy poco que las conocemos), sino que más bien son y han sido siempre un mundo en continuo movimiento y progreso. Las grandiosas ideas de las que hoy podemos disfrutar (como son los números decimales, las expresiones algebraicas, las progresiones, las funciones, el sistema binario o incluso los ordenadores e Internet por citar unos pocos ejemplos) no hubieran sido posibles sin que se hubieran producido discusiones, polémicas e intentos vanos de construir conceptos matemáticos que sirvieran para resolver los diversos problemas que se han planteado a lo largo de la historia. Y en medio de ese “mundo de construcción de ideas” que han sido siempre las Matemáticas han jugado un papel ciertamente interesante las llamadas “paradojas”.
El diccionario nos dice que una paradoja es una afirmación inverosímil o absurda. En realidad una paradoja matemática es absurda si los conceptos no los tenemos claros. Por ello, nos pueden ayudar a detectar errores conceptuales. Aquí os presento algunos ejemplos de paradojas famosas:
1ª) La paradoja de Aquiles y la tortuga.
Zenón de Elea fue un griego famoso por sus muchas paradojas, algunas conocidas como la de la Dicotomía, la de la Flecha, la del Estadio o la que os presento a continuación.
Para ir de un punto A (en el que sale Aquiles) a otro B (en el que sale la tortuga), primero debo recorrer la mitad de la distancia AB. Después, la mitad de lo que queda. Después la mitad del resto… y así sucesivamente. El proceso ha de repetirse infinitas veces, y por tanto, el tiempo que se requiere es infinito: nunca llegará Aquiles a alcanzar a la tortuga, ni siquiera a donde ésta estaba inicialmente (en B).

La paradoja de Zenón sigue siendo inmensa y profunda en la actualidad, aunque ya podemos explicarla. El tiempo total empleado en recorrer AB será la suma de infinitos términos , que es la suma de una progresión geométrica, que da 1, es decir la suma de los infinitos términos que decía Zenón es finita.
2ª) La paradoja del inventor del ajedrez.

La siguiente paradoja tiene que ver con el crecimiento exponencial y las progresiones geométricas, que básicamente son lo mismo.
Según la conocida leyenda del inventor del ajedrez, el rey que le encomendó la tarea de inventar el ajedrez quiso recompensarle. Así le preguntó cual podría ser su deseo. El inventor le propuso que le diera un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente, haciendo que en cada casilla haya el doble de granos que en la anterior.
Al rey le pareció un regalo casi irrisorio por lo poco que le pedía. Sin embargo al echar cuentas…

1 + 2 + 4 + 8 + … + 261 + 262 + 263 = 264 - 1 , cantidad de trigo que no tendría el rey en todo su reino, ni siquiera la había (ni la hay) en toda la Tierra.
La leyenda no dice más, pero podemos imaginar al soberano atribulado y humilde disculpándose ante el inventor por no poder cumplir lo prometido. O, acaso, iracundo y altivo, mandando decapitarlo por “tomarle el pelo”.

La enseñanza que el inventor le dio al rey no tiene desperdicio:
“En la vida, como en el ajedrez, cualquier movimiento puede tener aspectos ocultos, que uno debe intentar vislumbrar antes de tomar cualquier decisión”.

1 comentario:

Auri dijo...

haciendo gala de mi despiste me equivoqué al publicar el comentario a este post y lo puse en el anterior, sorry